みなさんこんにちは!

 突然ですが、微分方程式って難しいですよね(゚Д゚;)私も実は苦手です(^-^;

 そのくせ、物理や過渡現象、制御工学等で、結構重要だったりするから困りものです。

 しかし!そんな微分方程式をラクラク解けてしまうツールがあります!それがラプラス変換です(^^

 今回は、そのラプラス変換について、勉強していきましょう~。

 ラプラス変換を使った微分方程式の解き方については、こちらにも詳しく書いていますので、ぜひご確認ください(^^♪

 

目次

 

1.ラプラス変換とは?

2.ラプラス変換のやり方

3.微分方程式を解いてみよう!

4.まとめ

 

1.ラプラス変換とは?

 

 ラプラス変換とは、微分方程式を解くためのツールです。微分方程式を解くには微分・積分は必須ですが、これが難しい。しかし、ラプラス変換を使えば、微分・積分を掛け算・割り算に変換できるので、四則演算のみで微分方程式を解けるようになります。

 もう少し詳しく書きましょう。電気の世界でよく見る関数は時間tの関数ですね。これを、仮に「tの世界」としましょう。(あくまで、説明用です。実際はこんな言い方はしませんので注意!ただし意味は通じると思います。)tの世界には、四則演算に加えて、微分、積分などの計算があります。また、この世界では関数はf(t)と表記されます。

それに対して、「sの世界」があります。この世界には、四則演算しかありません。微分は掛け算、積分は割り算で表現されます。とっても計算が楽な世界です。この世界では関数はF(s)と表記されます。

さて、この2つの世界は全く別の世界なので、決して交わることはありません。ただし、この二つの世界をつなげる2つの架け橋があります。それが、「ラプラス変換」と「ラプラス逆変換」です。このイメージを図にすると、図1のようになります。

図1


1 「tの世界」と「sの世界」の行き来のイメージ

 

tの世界」から「sの世界」に行くことを、「ラプラス変換」といいます。そして、sの世界」から「tの世界」に戻ってくることを、「ラプラス逆変換」といいます。

ラプラス変換は一般的に下記のように表記されます。
ラプラス変換とラプラス逆変換

ところで、どうして「ラプラス逆変換」をして、「sの世界」から「tの世界」に戻ってこなくてはいけないのでしょうか?

実は、「tの世界」というのは、人がたくさん住んでいて、みんなが「tの世界」の言葉がわかります。しかし、「sの世界」の言葉は、みんな理解できません。ですから、微分方程式の解答としては、「sの世界」の言葉のままでは不十分で、きちんと「tの世界」の言葉に戻し、みんなに見せなければなりません。よって、「ラプラス逆変換」が必要になるのです。
 これは、日本で売るための製品を、人件費の安い海外の工場で作って、完成したものを日本にもってきて売るという流れに似ていますね(^^♪

テストにおいても、tの関数で微分方程式の問題が出されたのに、解答はsの関数になってたら、先生も怒りますよね。そういうことだと理解してください。

よって、ラプラス変換を用いた微分方程式を解く手順は、下記のようになります。

 

①方程式をラプラス変換する(tの関数→sの関数)

②ラプラス変換された方程式を解く(sの関数)

③解いた結果を、ラプラス逆変換する(sの関数→tの関数)

 

2.ラプラス変換のやり方

 

 ここでは、ラプラス変換の途中式を書きます。実際のところ、世の中には代表的な関数をラプラス変換した「ラプラス変換表」なるものが出回っています。毎回積分を用いてラプラス変換するのは大変ですから、こういった変換表を覚えれば問題ありません。ですので、途中式には興味ないよーって方はこの項は読み飛ばしても大丈夫です。

 ただし、ラプラス変換表を突然忘れてしまった、もしくはラプラス変換表に乗ってないような特殊な関数が出てきた、等の場合はここで紹介する方法を理解していると強いです。

時間の関数f(t)のラプラス変換は、下記の式で求めることができます。

 ラプラス変換公式

実際に、2つほど変換してみましょうか。

f(t)=e^t

 まずは指数関数のラプラス変換です。微分方程式ではよく出てくる関数ですね(*^^*)
では、ラプラス変換の式に代入してみましょう!

e^tのラプラス変換
 ラプラス変換できました(^^♪
 では、次はもう少し難しいものをラプラス変換してみましょう。

f(t)=cos(ωt+θ)
 これのラプラス変換には少し複雑な操作が必要になるので、注意してくださいね!まずは加法定理を使って、cos(ωt+θ)を積分しやすいように変換しましょう(^^

f(t)=cos(ωt+θ)

=cosωt cosθ-sinωt sinθ

 

 では、これをラプラス変換の式に代入します。

  加法定理

これは、部分積分を必要とする計算ですから、一気に積分したらちょっと大変です。そこで、赤い項を①青い項を②をとして別々に計算しましょう。では、から計算します。

 

について

加法定理のうち①

 では、次に青い字で示した②の項について計算していきましょう!


加法定理のうち2

これで、の積分結果が求まりました(^^

これらの計算結果の合計が本来求めたかった式のラプラス変換ですから、求めてみましょう(*^^*)


積分結果の合算

はい!これでf(t)=cos(ωt+θ)のラプラス変換ができました!

でも、これを毎回ひとつひとつ積分するのって大変ですよね(゚Д゚;)ですから、主要な関数についてはラプラス変換表を覚えてしまった方が楽なんです(*^^*)ラプラス変換表は下記の記事で載せています。

ラプラス変換表はこちら


でも、冒頭で書いたように公式を覚えておくといざというとき役に立つので、公式だけでも覚えておきましょう。

3.微分方程式を解いてみよう!

 

 では、いよいよラプラス変換を使って微分方程式を解いてみましょう!下記の記事のラプラス変換表を参照しながら、解いてみてくださいね(*^^*)




では、下記の微分方程式を解いてみましょう。
 微分方程式例

 この方程式は、微分が含まれているので微分方程式です。

 まずは、式をラプラス変換してみましょう。

 この式の左辺の第一項は、f(t)の微分、第二項はf(t)、右辺は指数関数ですね。それぞれラプラス変換すると、表1のようになります。


表1各項のラプラス変換

微分は、sの世界ではsF(s)の積で表されるのですね。ちなみに、赤い字で示したf(0)は初期値を示しています。今回の問題では初期値は1ですので、これを使いましょう。なので、微分方程式は下記のように解くことができます。
微分方程式の例を解いた

微分方程式の例は、下記の記事にもまとめてありますので、よかったら見てみてください(^^♪

4.まとめ

 ・ラプラス変換とは、微分方程式を解くためのツールである。

 ・兎に角、ラプラス変換表を覚えてしまうのが使いこなす早道!

 ・ただし、ラプラス変換の公式を覚えておくと役に立つ

 ・ラプラス変換で微分方程式を解く手順は、下記のとおりである。

  ①方程式をラプラス変換する。

  ②ラプラス変換された方程式を解く。

  ③解いた方程式をラプラス逆変換する。

 

 以上で、今回の解説を終わりたいと思います(^^

 最後までお読みいただき、ありがとうございました(*^^*)