みなさんこんにちは!

 

この記事は、前回の記事の続きです!まだ読んでない方は、ぜひこちらを先に読んでみてくださいね(*^^*)

青森県で「円筒座標体系」の勉強をしてみた

前回はねぶたのお面を使って円筒座標系の勉強をしましたが、今回は球面座標系を勉強しましょう!

目次
1.原点を決める
2.球面座標系に使う球を設定する
3.球面座標系をつかって座標を示す
4.直交座標系の座標に変換する~x軸およびy軸方向編~
5.直交座標の座標に変換する~z軸方向編~
6.まとめ

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1.原点を決める

 

 まずは、原点を定めます。これは、円筒座標系で原点を定めた時と同じですので、割愛します。今回も、ねぶたの口を原点として鼻の先端を求めます。

 

2.球面座標系に使う球を設定する

 

 球面座標系では、円筒の代わりに球を使います。ですから、半径r原点から青い点までの直接の距離そのままです!

 

※円筒座標系のときは、直接の距離ではなくxy平面上の距離を使いましたので、この点で円筒座標系とは異なります。

 

3.球面座標系を使って座標を表す

 

 さて、これを踏まえて図3に球面座標系を書き加えると図1のようになります(^^

 

図1


1 球面座標系
※施設の運営者さんに画像加工の許可はいただいています

 

 図1において、赤の実線で示しているのは、xy平面上での緑点青点の位置関係を示しています。また見づらいかもしれませんが、φxy表面上の角度、z軸からの角度θz軸方向の角度を示しています。

 球面座標系では、青点の座標は下記のように示されます。

 

(球の半径r,φ,θ)

 

 ここで、それぞれの要素について説明しましょう。

 

 φ・・・x軸からxy平面上の赤線までの角度

 θ・・・z軸から空間中の青線rまでの角度

 

 要するに、φxy方向の角度、θz方向の角度を示しています。

 

4.直交座標系の座標に変換する~x軸およびy軸方向編~

 

 では、これを直交座標での座標、つまり(x,y,z)座標に変換してみましょう(^^

 まず、x方向およびy方向については、考え方は円筒座標系と同じです。xy平面上の原点青点の距離とcosφ、sinφをそれぞれ乗じて求めるのでした。

 ここで、図8を真上から見たxy平面図を図2に示します。

図2

2 図1を真上から見たxy平面図

 

 ここで注意しなければならないのは、図2赤線は、球の半径rとは異なるということです。真上から見てるわけですから、角度θが大きくなれば赤線は長くなるし、θが小さくなれば赤線は短くなりますね!ここが円筒座標系との違いです!これについては、下に注意書を書いていますので、確認しておいてください。

 

これまでのことを踏まえて、円筒座標系のときのようにx方向の座標x’y方向の座標y’は下記のように求めることができます

 

x’=2の赤い実線cosφ

y’=2の赤い実線sinφ


 また、図2の赤い実線は下記のように求められます。

図2の赤い実線=rsinθ

 よって、x'とy'は下記のようになります。


x’=図2の赤い実線cosφ=rsinθcosφ

y’=図2の赤い実線sinφ=rsinθsinφ

 

☆注意!!球面座標系では球の半径rxy平面上の原点と青い点までの距離は違う!

 

先ほど、球面座標系では球の半径rxy平面上の原点と青い点までの距離は長さが違うと書きました。図3でこのことを確認しておきましょう(^^


図3

3 図1を真横から見た図

 

 図3は、図1の球面座標系を真横から見た図です。黒い円は、球面座標系の球です。

 真横から見ているので、yz平面図になっていますね。x軸は、この図ではわかりにくいですが、皆さんの見ている画面に垂直方向にのびています。また、図2xy平面図の視点は、赤い矢印の方向に見ています。

ここで、θをθ1θ2θ3と大きくしてみましょう。球の半径rは変わりませんから、xy平面上、つまり上から下に見下ろした時、つまり原点から青い点までの距離はより長く見えることがわかりますね!よって、球の半径rと図2xy平面上の赤い線は同じではありません!
 先ほども書きましたが、このxy平面上の赤い線の長さを表したいと思ったら、下記のようになります。

xy平面上の赤い線=rsinθ

 

 

5.直交座標の座標に変換する~z軸方向編~

 

  さて、次にz軸方向の座標z’を求めてみましょう。これは下記のように求めることができます。

z’=球の半径r×cosθ


 これを確認するために、yz平面を図4に示します(*^^*)yz平面とは、図1の球面座標系を真横から見た平面ですからね!

図4


4 yz平面図

 

 青の実線は原点からz’までの長さと同じですから、このように求められるのでした。(*^^*)

以上のことをまとめると、球面座標系は下記のように直交座標系に変換することができます(*^^*)

 

x’=図2の赤い実線cosφ=rsinθcosφ

y’=図2の赤い実線sinφ=rsinθsinφ
z’=球の半径r×cosθ 


 ここで、図2の赤い実線と球の半径rは異なることに注意しましょう!

6.まとめ

 
 ・球面座標系につかう球の半径は、3次元空間中の原点から青い点までの直線距離に等しい。
 ・球面座標系では、座標は(r,φ,θ)と表される。
 ・直交座標系に変換すると、座標は(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)と表される。

 

 これで、球面座標系の説明は終わりたいと思います。

 青森のねぶたのお面を使って、円筒座標系と球面座標系について解説しましたが、具体的な例を使うことで、イメージがしやすかったのではないのでしょうか(^^

 

 もしわからない点や、もっと知りたい点があれば、コメント欄までどうぞ(*^^*)

 この記事が少しでも皆さんのお役に立てれば幸いです(^^)/