皆さんこんにちは!

 

以前3つの座標体系についての記事を書きましたが、友人から「具体的なイメージがわかない!」との指摘があったので、ちょっと具体例を用いて説明する記事を書きたいと思います(^-^;

 

 せっかくですから、この前行ってきた青森から題材をお借りして、円筒座標系を勉強してみましょう(^^

 球面座標系については、下記の記事で紹介しています。

青森県で「球面座標系」の勉強をしてみた

 

 それでは、今回使うねぶたのお面です(*^^*)


図1ねぶたお面 - コピー

1 新青森駅に飾ってあるねぶたのお面

 

 円筒座標系や球面座標系では、角度と長さを使って座標を表現します。もし、この二つの座標系を習得できれば、角度と長さという情報だけで鼻の先端の位置を正確に定めることができる、などといったメリットがあるかもしれませんね(^^

 実際にその方法を使つかってお面を作ったかはわかりませんが(^-^;

 

 では、ねぶたの口から鼻の先までの位置関係を求めてみましょう!


目次 
1.原点を決める
2.円筒座標系のための円筒を決める
3.円筒の底面の半径を決める
4.円筒座標系で座標を表す
5.直交座標系に変換する
6.まとめ


1.原点を決める

 

 座標というのは、あくまである点からある点までの位置関係を示すものですから、原点をどこにするかを決める必要があります。今回は、口から鼻の先までの位置関係を求めるので、口を原点としてみましょう!すると、原点は下記のようになりますね(*^^*)

図2ねぶたお面

2 原点ねぶたのお面に付けた原点
※施設の運営者さんに画像加工の許可はいただいております。

 今回は原点を緑色としました(*^^*)

 

 では、今回はお面の鼻の先端の座標を求めるのですから、青色の点でお面の鼻の先端に印をつけましょう。

図3 - コピー

3 ねぶたのお面

 

 さて、これで準備はできました。

 実際に、これらの座標を円筒座標系と球面座標系を使って求めていきましょう(*^^*)

 

2.円筒座標系のための円筒を決める

 

 円筒座標系は、通常円筒を上から見た角度で表現されます。ですが、図3のお面は下から見た角度ですよね。上から見た円筒座標系で表現できるように、この写真を反転しちゃいますね!

 お面は下から見た角度なのに、円筒は上から見てるなんてことになると、まったく正確ではないので、気を付けましょう!

そうすると、図4のようになります。

図4 - コピー - コピー - コピー - コピー - コピー

4 反転した画像

 

 では、これに円筒座標系を書き加えていきます!円筒の大きさはどのように決めればいいのでしょうか?

 

3.円筒の底面の半径を決める

 

円筒の底面の円の半径を、xy平面上での原点から青い点までの距離に等しくすることです。この、「xy平面上での」というのが重要です。

ここで、原点から青い点までの直接の距離ではないので注意してください!


 わかりづらい人は、図5xy平面上、つまり円筒を真上から見た図を示しますので、確認してください。

図5xy平面上の位置関係 - コピー

5 真上から見た図(xy座標)

 

5では、横軸がy、縦軸をxとしているので注意してください!その方が、図6で三次元にしたときに図5のどの軸が図6の軸に対応しているかがわかりやすいでしょ?(^^

補足しておきますが、図6でいうところのz軸は、xy平面に垂直、つまり画面に垂直方向にのびていますからね!

4.円筒座標系で座標を表す


 では、いよいよ図6に円筒座標系を示します!

図6 - コピー - コピー

6 円筒座標系を書き加えた

 

 円筒座標系では、3つの要素で原点との位置関係を示すのでした。その3つの要素とは、底面の半径r角度φz軸方向の大きさz’です!

 よって、この青点の座標は下記のように表すことができます。

 

(底面の半径r,φ,z’)

 

5.直交座標系に変換する

 

では、これを直交座標系に変換してみましょう。

6の中に、赤い辺で囲まれた鋭角φ斜辺rの直角三角形が見えますか?わかり易くするため、図7xy平面、つまり図6の円筒を真上から見た図を示します。

図7xy平面上の位置関係

7 図6の円筒座標系を真上から見た図(xy平面)

 

この直角三角形の底辺こそがx方向成分の値となりますから、それをx’とすると下記のように求めることができます。

 

x’=rcosφ

 

次にy方向成分は、この三角形の対辺に等しいです。なぜなら、この辺とx軸は垂直に交わっているので、y軸に平行だからです。よって、y方向成分の値をy’とすると、下記のように求めることができます。

y’=rsinφ

 

 z方向については、円筒座標系ではそのままですので、変換する必要がありません。

 よって、直交座標系に変換後の青い点の座標は下記のように表されます。

 

(x’,y’,z’)=(rcosφ,rsinφ,z’)

 

 ちなみに、今回は便宜上写真を写真を反転しましたが、もとの角度の写真での座標を求めたい場合には、x方向成分、y方向成分、z方向成分それぞれにマイナスをかければ方向転換できます(^^
※ただし、角度φにマイナスを乗じても反転できませんので注意!

6.まとめ 

・円筒座標系で使われる円筒は、底面の円の半径がxy平面上の原点から点までの直線距離に等しい。
・円筒座標系では、座標は(r,φ,z)で表される。
・直交座標系に変換すると、座標は(rcosφ,rsinφ,z)で表される。


 以上で、円筒座標系の説明を終わります!
下記の記事では、同じくねぶたのお面を使って、球面座標体の説明をしています(^^


青森県で「球面座標系」の勉強をしてみた

 

 もし、ここがわからない、もっと知りたいなどのご要望がありましたら、ぜひコメント欄まで(*^^*)