こんにちは!

 

今回は、電磁気学において重要となる座標体系の一つ、円筒座標系について解説します(*^^*)
ちなみに、円筒座標系の他の2つの座標系は、下記の記事で紹介していますので、こちらもご確認ください!
電磁気学のための座標系①直交座標系(デカルト座標系)

 
電磁気学をのための座標系③球面座標系

目次
1.円筒座標系の座標の表し方
2.直交座標系への書き換え
3.どのような場面で円筒座標系を使うのか?
4.まとめ

1.円筒座標系の座標の表し方

 

 円筒座標体系を図1に示します。点Pの座標を表してみましょう!

図1円筒座標系



1 円座標体系

 

 円筒座標系では、z軸に沿って伸びる円筒を使って座標を表します。そのため、点Pの座標は、直交座標系のような(x,y,z)ではなく、円筒の底面の半径r角度φとz(r,φ,z)で示されます。では、図2で確認してみましょう!

図2円筒座標系 - コピー


2 円筒座標系の座標

 

なんとなくイメージはわかりましたか?半径rは円筒の半径rです。ここでイメージされる円筒の底面の半径は、原点から点Pまでの底面上の距離に等しいと考えてください。zは円筒の高さにあたります。また、角度φは、x軸からどのくらいの角度にあるかを示していることが図2からわかりますね!

 

2.直交座標系への書き換え

 

 円筒座標系は、直交座標系(x’,y’,z’)の形に書き換えることができます。図2を見てみましょう!

 まずは直交座標系におけるx方向の座標を求めてみましょう!

 実はこれは簡単です。図3を見てみましょう。


図3円筒座標系

3 円筒座標系から直交座標系の座標を導く

 

 点Pから、x軸に向かって図3のような緑線を引くと、緑色の線とx軸は垂直に交わります。つまり、図3の赤、黒、緑の線で構成する三角形は直角三角形になりますね!直角三角形で鋭角がφのとき、x方向の座標x’は、cosφに斜辺を乗ずれば求まるのでした。このとき、斜辺はrですから、x’は下記のように求めることができます。

 

x’=rcosφ

 

 次に、y方向の座標を求めてみましょう。

 点P0からy方向の距離は、図3の緑色の線に等しいことがわかりますよね?なぜなら、緑色の線はy軸と平行で、点Pからx軸(y=0の位置)までの長さと等しいのですから。

 このことから、y方向の座標y’は直角三角形の対辺の長さですから、sinφに斜辺rを乗ずれば求めることができますね!よって、下記のようになります。

 

y’=rsinφ

 

 これで、x’y’を求めることができました。Z方向の座標z’は、円筒座標系でもそのまま使われていますので、このまま使います。これらをまとめると、下記のようになります。

 

x’=rcosφ

y’=rsinφ

z’(変換の必要なし)

 

 以上で、円筒座標系から直交座標系への変換ができました。

 

3.どのような場面で円筒座標系を使うのか?

 

 それでは、どのような場面で円筒座標系を使うのかを見ていきたいと思います。

 電磁気学では、電荷量から電界や電圧を求める問題が多くあります。よくあるのが、線状の物体に電荷が分布している例です。具体的には、ケーブルがイメージしやすいのではないかと思います。ケーブルのイメージを図4に示します。


図4 よくあるケーブルの断面


4 よくあるケーブルの断面図

 

 実際に使われているケーブルは、もう少し複雑な構造をしていますが、電磁気学ではこんな感じの断面がよく出てきます。ここのケーブルに電荷が分布しているとき、解析にはケーブルの断面の半径と、ケーブルの長さの両方を使って積分する必要があります。

 この形状に加えて、半径と長さを同時に示せる座標系といえば、円筒座標系が使えそうですよね?図5に円筒座標系を用いた解析のイメージを示します。

図5 よくあるケーブルの断面 - コピー

5 円筒座標系を用いた解析のイメージ

 

 電荷はひとつだけではなく、ケーブル内に均等に存在する場合、半径rや長さを積分して解析をしていきます。この解析についての詳細は、また別の記事でまとめたいと思います。

 

 いかがでしたでしょうか?円筒座標系に対するイメージができましたか?

 電気は通常ケーブルのような線状の導体を流れていきます。よって、電磁気学においてもこのような線状の導体に関する解析はとても多いということは想像できるのではないかと思います。

4.まとめ


 ・円筒座標系では、円筒を考える。座標は(r,φ,z)と表される。
 ・円筒の半径は、xy平面上の原点から座標点までの距離に等しい。
 ・直交座標系に変換すると、(rcosφ,rsinφ,z)と表される。
 ・電磁気学の線状に分布した電荷についての問題では、円筒座標系を用いることが多い。
 

 いかがでしたでしょうか。円筒座標系に対するイメージをつかむことはできましたか?(*^^*)

 次の記事では、もう電磁気学で抑えておくべきもうひとつの座標系である、球面座標系についてまとめたいと思います。

 

 もし、記事を読んでいてここがわからない、もっと知りたいなどのリクエストがあれば、コメント欄やお問い合わせをいただけると幸いです(^^)/




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