みなさんこんにちは!

 今回は、電磁気学を理解するために理解しておかなければならない座標体系について説明したいと思います。

 

 当ブログで微分や積分を解説した記事では、xy平面座標を使いました。ただし、電磁気学は3Dの世界です。3Dの世界を表現するには、いくつかの座標体系があるということをまず理解しましょう(*^^*)

 それは、直交座標系(デカルト座標系)、円筒座標系、球面座標系の3つです

 

 今回は、そのうちの直交座標系について解説したいと思います!
 ちなみに、円筒座標系および球面座標系については下記の記事で紹介しておりますので、ご確認ください(*^^*)


電磁気学をのための座標系②円筒座標系

 
電磁気学をのための座標系③球面座標系

目次

1.直交座標(デカルト座標系)の座標とベクトルの表し方

2.ベクトルAの式の意味は?単位ベクトルとは?

3.ベクトルの足し算の復習
4.ベクトルAは、3つのベクトルの和?
5.まとめ


1.直交座標(デカルト座標系)の座標とベクトルの表し方


 この座標系では、xyの両軸に加えてzという軸が加わります。【積分】工学部学生が積分の概念をわかりやすく解説してみたの記事で、3Dの積分を扱ったときに使った座標がこれですね。図1に座標のイメージを示します。

図1デカルト座標系ベクトル付き - コピー

1 直交座標系(デカルト座標系)

1のように、点Pの座標はx軸、y軸、z軸によってあらわされます。

それでは、今度はベクトルについて考えていきましょう。図1に緑色で示したベクトルが見えますでしょうか。これをベクトルとしましょう。このベクトルは、下記のように表されます。

ベクトルAの式

ちなみに、式の中のAaxayazは太字になっていることには気づきましたでしょうか。数学では、一般的にベクトルは太字で表すことが多いです。もし知らなければ覚えておきましょう。

 

2.ベクトルAの式の意味は?単位ベクトルとは?

 

 さて、ベクトルAの式に出てくる、axayazとはどのような意味でしょうか。これらは、単位ベクトルを表しています。単位ベクトルとは、単位長さあたりのベクトル、つまり大きさが1のベクトルと覚えておきましょう。ちなみに、単位ベクトルの概念は座標体系だけでなく、電磁気学全体を理解するためにも重要なので、覚えておきましょう。

また、ベクトルがスカラー倍されたときは、方向は変わることなく、その分の大きさだけベクトルが置きくなる、つまり矢印が長くなるのでした。このことから、式中のx’aは、「長さがx’のベクトル」を表しているといえます。このベクトルを図2で確認しましょう!

ベクトルx

2 ベクトルx’ax

 

 ちなみに、ベクトルy’ayz’azはそれぞれ図34のようになりますので、確認しておきましょう(*^^*)

ベクトルy

3 ベクトルy’ay


ベクトルzー

4 ベクトルz’az

 

 これで、ベクトルAの式に出てくる3つのベクトルをすべて確認することができました。

 

3.ベクトルの足し算の復習


 ここで、ベクトルの足し算について復習しましょう。わかっている方は、この項は読み飛ばして4に行っても差し支えありません。

 例として、ベクトルBCの足し算を考えてみます。その足し算は下記のようになります。

B+C

図2ベクトルの足し算

図5 ベクトルの足し算

 

 手順を説明しますと、下記のようになります。

①片方のベクトル(例ではベクトルB)の矢印の先を、もう片方の矢印(例ではベクトルC)の後端につなげる。この時、矢印は平行移動できますが、方向は変えないように注意してください。

②つなげたベクトル(例ではベクトルB)の後端から、つなげた先のベクトル(例ではベクトルC)の先端へ向かって矢印を引く。

 

 今回は使いませんが、ベクトルの引き算についても復習しておきましょう。式は下記のようになります。

B-C

 ちなみに、ベクトルの引き算の場合は次のように考えた方がわかりやすいです。

B+(-C)

 ベクトルのマイナスというのは、矢印を180°真逆にするということですから、図3のようになります。その後の手順は足し算のときと同じです。

図3ベクトルの引き算

図6 ベクトルの引き算

 

4.ベクトルAは、3つのベクトルの和?

 さて、ここでもう一度ベクトルの式を見てみましょう。

ベクトルAの式

3つのベクトルの足し算グラフ上で確認しましょう。x’ax+y’ayは図7のようになります。

図4x'ax+y'ay

図7 x’ax+y’ay

 次にx’ax+y’ay+ z’azは図5のようになります。

図5x'ax+y'ay+z'az

5  x’ax+y’ay+ z’az

 

 よって、x’ax+y’ay+ z’azがベクトルAに等しいことがわかりました(^^

 

5.まとめ

 ・直交座標系では、座標を(x,y,z)3つの軸で表す。

 ・単位ベクトルは長さが単位あたりのベクトル(長さが1で、方向だけあり)

 ・直交座標系でベクトルは3つのベクトルの和(下記の通り)

ベクトルAの式

 
 今回は、ここまでにしたいと思います。電磁気学を学習するために使いこなしたい座標体系はあと二つあります。それは円筒座標系と、球面座標系です。これらについても、近々解説したいと思います(^^

 

 ここがわからない、もっと知りたいなどの要望がありましたら、コメント欄までどうぞ(*^^*)

 この記事が少しでも皆さんのお役に立てると幸いです(^^)/




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