こんにちは!この記事は、【積分】工学部学生が積分の概念をわかりやすく解説してみたの続きです(^^)

まだ読まれていない方は、こちらにも目を通すことをお勧めします(^^

目次
1.二重積分とは?
2.積分で3D??~体積を求める~
3.電磁気学と積分
4.まとめ

 

1.二重積分とは?

 

 二重積分とは、下記のような積分のことを言います。
図1二重積分の例

要するに、二重の積分ですね(*^^*)この積分の例では、xの範囲をcdyの範囲をabということを表しています!

計算方法を復習しておきましょう。まずは内側のxについての積分を先に計算しましょう!

内側の積分を計算した - コピー

次に、外側の積分を計算していきます!
外側の積分を計算した

では、最後まで計算しましょう!(紫色の文字が続きの計算です)

最後まで計算した

さて、この積分が示す面積は、どこのことなのでしょうか?図1x-y平面上に示してみましょう!

xy平面

1 二重積分の面積

 

 計算結果の通り、横の長さ(d-c)×縦の長さ(b-a)に一致していますね!

 重積分では、2つの変数の範囲を指定することができる!ということをご理解いただけたのではないでしょうか。

 

2.積分で3D??~体積を求める~

 

 これまでは平面上の2Dの面積について扱ってきました。

 しかし、積分では3D、つまり体積を求めることができます!例えば、下記のような積分は3Dの図形を扱っているということになります(^^
3D積分の例 - コピー

この積分には、3つの座標軸(方向)があります。ちょっと色分けしてみましょう。

3D積分の例詳細

わかりましたか?この積分の場合、f’(x)xzの三つの軸で表される3Dの物体ということになります!では、この積分の体積のイメージを図2で見てみましょう!

3D面積




2 積分によって求まる体積のイメージ

 

 この積分によって求まる体積は、オレンジ色で塗られた部分になります。

 念のため解説しておくと、図5はまず平面にf’(x)xという軸があります。そしてそれらと垂直な方向にzという軸があると考えます。念のため、上記の積分の式で色分けした通り、zの積分範囲は青、xの積分範囲は緑で示してあります。

 このように、積分を用いれば、3Dの物体の体積も求められることがわかりましたでしょうか?

 

3.電磁気学と積分

 

 さて、【積分】工学部学生が積分の概念をわかりやすく解説してみたの記事で、積分は電磁気学において重要であるという話をしました。どうしてでしょうか?

 

 電磁気学というのは、電荷の動きや現象を解析する学問です。つまり、どの空間(面積や体積)にどれくらいの電荷が存在して、どのくらいの力が発生する、電界が発生する、というのを考えるのが重要なんです。

 また、電磁気学に出てくる面積や体積というのは、具体的な値ではなく、一般化された式を導くことが重要です。これについては別の記事で詳しく解説したいと思います。また、その形も結構複雑だったりして、関数を使って面積を求めた方がずっと楽だったりします。

 そんな時に活躍するのが、積分です!電磁気学を理解するためには、積分の計算ができるだけでは苦しいと思います。ぜひ、グラフで、幾何学的に理解してもらえるといいと思います(^^

 二重積分くらいまで理解できれば、電磁気学で出てくる積分はカバーできますので、概念だけでも理解しましょう!

 
4.まとめ

 ・二重積分は、2つの微小な変数について積分するときに使う。
 ・3つの関数をかけ合わせれば、3次元の物体の体積が求められる。範囲を指定したい辺の数で、二重積分、或いは3重積分となる。
 ・電気電子工学科に入ったら必ず学ぶ電磁気学では、積分を幾何学的に理解していることが重要。計算ができるだけ、ではつらい。

 いかがでしたでしょうか?

 具体的な、もう少し複雑な積分については、今後別の記事を作ってご紹介したいと思います(^^

 もしも、こんなことが知りたい、ここがわからないなどの点がございましたら、コメント等いただけますと幸いです(*^^*)