みなさんこんにちは!

以前、微分について記事を書きましたが、今度はその逆、積分について書きたいと思います。

積分も数学的な操作はわかるけど、幾何学的な意味はよく分からない、という方は結構いるんじゃないかな?と思います。

 

電気系や情報系の学生でいえば、「電磁気学」を学ぶ際には積分を幾何学的な意味で理解できているとかなり役立つので、ぜひ記事を読んでもらえるといいな、と思います(^^

また、経済学部等の文系でも積分が必要な学生さん、これから積分を学ぶ方にも、読んでいただけるといいかな、と思います(*^^*)

 

この記事では、積分の概念と、不定積分、定積分までをまとめています。

二重積分については、次の記事でまとめる予定です!


目次
1.積分は面積?
2.記号∫の意味とは?
3.定積分の面積は?
4.まとめ
 

1.積分は面積?

 積分って、下記のように書きます。

積分の式

微分では、とある関数の導関数を求めました。じつはこの導関数とx軸で囲む面積は、もとの関数f(x)の値に等しいんです。

 

 例として、下記の関数f(x)について考えてみましょう。

F(x)=x^2


 この関数のグラフは図1のようになります。

y=x^2グラフ(素)

1 y=x^2のグラフ

 この関数の微分結果、つまり導関数は下記のようになります。

 もし微分がわからないという方は、ぜひこちらの記事を参考にしてみてください(*^^*)

f ‘(x)=2x

 この導関数とx軸で囲む領域の面積は図2のようになります!

導関数

2 導関数とx軸で囲む面積

 

 ここで、この面積を求めてみましょう!

 今回の例では、面積は三角形になりますから、底辺xに高さ(f’(x)、つまりこの導関数のyの値)をかけて2で割れば求められますね!

面積の計算

見てください!もとの関数f(x)=x^2と同じになりました!

 これで、要するに、積分の式は、高さをf’(x)、底辺をxとしたときの面積だよーって意味になります(*^^*)

2.記号∫の意味とは?

 ところで記号∫って、どういう意味でしょうか?

 では、もし∫がなかったらどこの面積になるのか、図3で見てみましょう!

∫なしの面積


3 ∫がない場合の面積

 

 ここで、積分の式に出てくる「dx」とは、「微小なxの区間」という意味です!積分でのd~は「微小な~」という意味であることを覚えておきましょう!
 積分というのは、この微小なxと導関数の面積をこつこつ足し合わせていったものです。そんなことから、積分というのは下記のように表されることもあります。
シグマ
 念のため説明しておくと、Σはシグマと読み、指定した範囲を足し合わせていく記号でした。
 さて、この式が表す面積のイメージは、図4のようになります(^^♪

面積足し合わせ
図4 積分の面積のイメージ
 
 微小な区間dxと微小な面積がいくつか並んでますよね?
積分というのは、これらの微小な面積の足し合わせです!つまり、積分は足し算ということを理解してもらえると幸いです(^^♪

 ちなみに、積分ではdxの範囲を指定することができます。この範囲の指定がある積分を定積分、先ほどの例のように範囲の指定のない積分を不定積分と呼びます。

 

3.定積分の面積は?

 では、下記の定積分の面積はどこになるかを考えましょう!下記のような積分があるとします。ここで、ここで、F’(x)=2xとします。

定積分の例

この積分は、「xの範囲をa~bにする」という意味ですから、面積は図4のようになります。


定積分の面積

図5 定積分の面積

 

 底辺xの範囲が、aからbとなったときの面積です。考え方はわかりやすいのではないかと思います(*^^*)

 試しに、ちょっと計算してみましょう。

定積分の計算例

これってつまり、高さf(x)と底辺bの三角形から、底辺aの三角形の面積を引いた面積ってことですよね(*^^*)

つまり、図4で斜線の部分の面積ということになります!

4.まとめ

 ・積分とは、関数のグラフとx軸で囲む面積を求めることである。
 ・∫(インテグラル)の意味とは、微小な面積を足し合わせるよ~っていう意味である。
 ・定積分では、積分区間(面積を足し合わせる区間)を指定することができる。

いかがでしょうか?
数学的な計算と幾何学的な意味を結びつけることができれば、今回は大成功です!

 

今回は、ここまでで終わりにしたいと思います。

次の記事では、二重積分と、どうして電磁気学と積分について、少し書きたいと思います(*^^*)

もしも、ここがわからない、ここがもっと知りたいなどのリクエストがあれば、コメント欄に書いていただけると幸いです(^^)/